f(x)在x→无穷大时极限为A,f(x)在R上连续,求证f(x)有界limf(x)在x→无穷大时极限为A,且f(x)在R上连续,求证f(x)有界.
问题描述：
f(x)在x→无穷大时极限为A,f(x)在R上连续,求证f(x)有界
limf(x)在x→无穷大时极限为A,且f(x)在R上连续,求证f(x)有界.
答
一楼说的很详细
答
证明：根据函数收敛的定义有,存在正整数N，当｜x｜>N时，|f(x)-A|由于函数连续所以在-N所以可以得到min{A-1,c}命题得证。
答
对于ε＝1,由lim(x→∞)f(x)＝A,存在正数X,当|x|＞X时,|f(x)－A|＜1,所以|f(x)|＜1＋|A|.
f(x)在[-X,X]上连续,从而有界,所以存在正数M1,使得|f(x)|≤M1对任意的x∈[-X,X]恒成立.
取M＝max｛1＋|A|,M1｝,则|f(x)|＜M在R上恒成立,所以f(x)有界