E、F分别是平面内的任意四边形ABCD的两边AD,BC的中点,求证向量EF=2分之一1(AB向量+DC向量)

问题描述:

E、F分别是平面内的任意四边形ABCD的两边AD,BC的中点,求证向量EF=2分之一1(AB向量+DC向量)

证:∵EF是△EBC中BC边的中线,∴向量EF=(1/2)(向量EB+向量EC).以下省去"X向量”二字。
EB=AB-AE.
=AB-(1/2)AD;
EC=ED+DC,
又AE=ED=(1/2)AD..
∵EF=(1/2)[AB-(1/2)AD+(1/2)AD+DC].
∴EF=(1/2)(AB+DC).

取AC中点H,则EF=EH+HF=(1/2)DC+(1/2)AB=(1/2)(DC+AB)