方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005的实数解的个数为_.

问题描述:

方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005的实数解的个数为______.

(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005,等价于(x+

1
x2005
)(1+x2+x4+…+x2004)=2006
等价于x+x3+x5+…+x2005+
1
x2005
+
1
x2003
+
1
x2001
+…+
1
x
=2006,故x>0,否则左边<0.
所以2006=x+
1
x
+x3+
1
x3
+…+x2005+
1
x2005
≥2×1003=2006.
等号当且仅当x=1时成立.
所以x=1是原方程的全部解.
因此原方程的实数解个数为1
故答案为1.