方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005的实数解的个数为_.
问题描述:
方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005的实数解的个数为______.
答
(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005,等价于(x+
)(1+x2+x4+…+x2004)=20061 x2005
等价于x+x3+x5+…+x2005+
+1 x2005
+1 x2003
+…+1 x2001
=2006,故x>0,否则左边<0.1 x
所以2006=x+
+x3+1 x
+…+x2005+1 x3
≥2×1003=2006.1 x2005
等号当且仅当x=1时成立.
所以x=1是原方程的全部解.
因此原方程的实数解个数为1
故答案为1.