已知幂函数f(x)=x32+k−12k2(k∈Z)(1)若f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,求f(x)的解析式;(2)若f(x)在(0,+∞)上是减函数,求k的取值范围.

问题描述:

已知幂函数f(x)=x

3
2
+k−
1
2
k2(k∈Z)
(1)若f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在(0,+∞)上是减函数,求k的取值范围.

(1)幂函数f(x)=x32+k−12k2(k∈Z),又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴32+k−12k2>0,解得-1<k<3,又∵k∈Z,∴k=0,1,2,∵f(x)为偶函数,①当k=0时,32+0−12×02=32,f(x)为奇函数,不符合题意;...
答案解析:(1)根据幂函数f(x)=x

3
2
+k−
1
2
k2(k∈Z)在(0,+∞)上是增函数,可以得到
3
2
+k−
1
2
k2>0
,再根据f(x)为偶函数,即可求得k的值,从而求得f(x)的解析式;
(2)根据f(x)在(0,+∞)上是减函数,可以得到
3
2
+k−
1
2
k2<0
,求解即可得到实数k的取值范围.
考试点:幂函数的单调性、奇偶性及其应用;函数解析式的求解及常用方法;幂函数图象及其与指数的关系;幂函数的性质.
知识点:本题考查了幂函数的单调性、奇偶性及其应用,幂函数的图象及其与指数的关系,幂函数的性质,函数解析式的求解及常用方法.对于幂函数的问题,关键是正确的画出幂函数的图象,根据幂函数在第一象限的图形,结合幂函数的定义域、奇偶性,即可画出幂函数的图象,应用图象研究幂函数的性质.对于求函数解析式的方法,一般有:待定系数法,换元法,凑配法,消元法等.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行选择合适的方法.属于基础题.