设f(x)有二阶函数,且f''(x)>0,limx趋于0f(x)/x=1.证明:当x>0时,有f(x)>x
问题描述:
设f(x)有二阶函数,且f''(x)>0,limx趋于0f(x)/x=1.证明:当x>0时,有f(x)>x
答
由条件,f(0)=lim f(x)=lim f(x)/x * lim x=1*0=0.
且f'(0)=lim (f(x)-f(0))/x=lim f(x)/x=1.
以上极限都是x趋于0.
因为f''(x)>0,故f‘(x)是严格递增的,故f'(x)>f'(0)=1,
令g(x)=f(x)-x,g'(x)=f'(x)-1>0,当x>0时,
g(x)是递增的,故g(x)>g(0)=f(0)-0=0,于是得
f(x)>x,当x>0时.