n个正整数a1,a2,…,an满足如下条件:1=a1<a2<…<an=2009;且a1,a2,…an中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数,求n的最大值说清理由

问题描述:

n个正整数a1,a2,…,an满足如下条件:1=a1<a2<…<an=2009;且a1,a2,…an中任意n-1个不同的数的
算术平均数都是正整数,求n的最大值
说清理由

解 设a1,a2,……an中去掉ai后剩下的n-1个数的
算术平均数为正整数bi(i=1,2,……n,即
bi= [(a1+a2+...+an)-ai]/(n-1)
于是,对于任意的1≤i<j≤n,都有bi-bj=(aj-ai)/(n-1)
从而,n-1∣(aj-ai)
由于b1-bn=(an-a1)/(n-1) =2008/(n-1) 是正整数,故n-1∣23×251
由于an-a1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+……+(a2-a1)≥+(n-1)+(n-1)+……(n-1)=(n-1)2
∴(n-1)2≤2008,于是n≤45,结合n-1∣23×251,∴n≤9,
另一方面,令a1=8×0+1,a2=8×1+1,a3=8×2+1,……a8=8×7+1,a9=8×251+1,则这9个数满足题设要求,综上所述,n的最大值为9
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