如图,四边形ABCD是菱形,AE⊥BC交CB的延长线于点E,AF⊥CD交CD的延长线于点F.求证:AE=AF.

问题描述:

如图,四边形ABCD是菱形,AE⊥BC交CB的延长线于点E,AF⊥CD交CD的延长线于点F.求证:AE=AF.

证明:方法一:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠ABC=∠ADC,
∴180°-∠ABC=180°-∠ADC,
即∠ABE=∠ADF,
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD=90°,
在△ABE和△ADF中,

∠ABE=∠ADF
∠AEB=∠AFD=90°
AB=AD

∴△ABE≌△ADF(AAS),
∴AE=AF.
方法二:∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=CD,
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴菱形ABCD的面积=BC•AE=CD•AF,
∴AE=AF.
答案解析:方法一:根据菱形的四条边都相等可得AB=AD,对角相等可得∠ABC=∠ADC,再根据等角的补角相等可得∠ABE=∠ADF,然后利用“角角边”证明△ABE和△ADF全等,根据全等三角形对应边相等即可得证.
方法二:根据菱形的四条边都相等,再利用菱形的面积证明即可.
考试点:菱形的性质;角平分线的性质.
知识点:本题考查了菱形的四条边都相等,对角相等的性质,全等三角形的判定与性质,证明边相等,想办法证明边所在的三角形全等是常用的方法之一,一定要树立掌握并灵活运用.