已知抛物线y=12x2−mx+2m−72.(1)试说明:无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点.(2)如图,当抛物线的对称轴为直线x=3时,抛物线的顶点为点C,直线y=x-1与抛物线交于A、B两点,并与它的对称轴交于点D.①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;②平移直线CD,交直线AB于点M,交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形?

问题描述:

已知抛物线y=

1
2
x2−mx+2m−
7
2


(1)试说明:无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点.
(2)如图,当抛物线的对称轴为直线x=3时,抛物线的顶点为点C,直线y=x-1与抛物线交于A、B两点,并与它的对称轴交于点D.
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
②平移直线CD,交直线AB于点M,交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形?

(1)该函数的判别式=m2-4m+7=(m-2)2+3≥3
∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点.
(2)由直线y=x-1与抛物线交于A、B两点,
∴点A(1,0)
代入二次函数式则m=3
故二次函数式为:y=

1
2
x2−3x+
5
2

当抛物线的对称轴为直线x=3时,则y=-2,
即顶点C为(3,-2),
把x=3代入直线y=x-1则y=2,
即点D(3,2)
则AD=AC=2
2

设点P(x,
1
2
x2−3x+
5
2

由直线AD的斜率与直线PC的斜率相等
1
2
x2−3x+
5
2
+2 
x−3
=1

解得:x=3或x=5
则点P(3,-2)(与点D重合舍去)或(5,0)
经检验点(5,0)符合,
所以点P(5,0)
②设直线AB解析式为y=kx+b,将A(1,0),D(3,2)代入得直线AB:y=x-1,
设M(a,a-1),N(a,
1
2
a2-3a+
5
2
),
当以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,MN=CD,即|(a-1)-(
1
2
a2-3a+
5
2
)|=4,
解得a=4±
17
或3或5,
故把直线CD向右平移1+
17
个单位或2个单位,向左平移
17
-1个单位,能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
答案解析:(1)从函数的判别式出发,判别式总大于等于3,而证得;
(2)①由直线y=x-1与抛物线交于A、B两点,求得点A,代入抛物线解析式得m,由直线AD的斜率与直线PC的斜率相等,求得点P坐标;
②求得MN的坐标,从MN与CD的位置关系解得.
考试点:二次函数综合题.

知识点:本题考查了二次函数的综合运用,求得判别式总大于等于3,而证得;求得点A,代入抛物线解析式得m,由直线AD的斜率与直线PC的斜率相等,而解得;平移后得到的情况,得到M,N的坐标而解得.