已知:如图,正△ABC的边长为a,D为AC边上的一个动点,延长AB至E,使BE=CD,连接DE,交BC于点P.(1)求证:DP=PE;(2)若D为AC的中点,求BP的长.

问题描述:

已知:如图,正△ABC的边长为a,D为AC边上的一个动点,延长AB至E,使BE=CD,连接DE,交BC于点P.
(1)求证:DP=PE;
(2)若D为AC的中点,求BP的长.

(1)证明:过点D作DF∥AB,交BC于F.
∵△ABC为正三角形,
∴∠CDF=∠A=60°.
∴△CDF为正三角形.
∴DF=CD.
又BE=CD,
∴BE=DF.
又DF∥AB,
∴∠PEB=∠PDF.
∵在△DFP和△EBP中,

∠BPE=∠FPD
∠PEB=∠PDF
BE=FD

∴△DFP≌△EBP(AAS).
∴DP=PE.
(2)由(1)得△DFP≌△EBP,可得FP=BP.
∵D为AC中点,DF∥AB,
∴BF=
1
2
BC=
1
2
a.
∴BP=
1
2
BF=
1
4
a.
答案解析:(1)过点D作DF∥AB,构造三角形全等,可证得△CDF为等边三角形,得到DF=BE,可由AAS证得△DFP≌△EBP⇒DP=EP;
(2)若D为AC的中点,则DF是△ABC的中位线,有BF=
1
2
BC=
1
2
a,点P是BF的中点,得到BP=
1
2
BF=
1
4
a.
考试点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;三角形中位线定理.

知识点:本题利用了等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质求解.