已知:如图,△ABC中,BD,CE分别平分∠B和∠C,P是DE中点,过点P作BC,CA,AB的垂线,垂足分别为L,M,N,求证:PL=PM+PN.

问题描述:

已知:如图,△ABC中,BD,CE分别平分∠B和∠C,P是DE中点,过点P作BC,CA,AB的垂线,垂足分别为L,M,N,求证:PL=PM+PN.

过D作DF⊥BC交BC于F,过E作EG⊥BC交BC于G,过D作DH⊥AB交AB于H,过E作EK⊥AC交AC于K.∵DF⊥BC、PL⊥BC、EG⊥BC,∴DF∥PL∥EG,又∵PD=EP,∴PL是梯形DEGF的中位线,∴PL=DF+EG2.∵点E在∠ACB的平分线上,∴EG=EK...
答案解析:过D作DF⊥BC交BC于F,过E作EG⊥BC交BC于G,过D作DH⊥AB交AB于H,过E作EK⊥AC交AC于K.
由DF⊥BC、PL⊥BC、EG⊥BC,可知DF∥PL∥EG,进而可得出PL是梯形DEGF的中位线,所以PL=

DF+EG
2
.由角平分线的性质可知EG=EK,DF=DH,同理可得PM是△DEK的中位线,PN是△DEH的中位线,再通过等量代换即可得出结论.
考试点:角平分线的性质;三角形中位线定理;梯形中位线定理.
知识点:本题考查的是角平分线的性质,涉及到三角形、等腰梯形的中位线定理,根据题意作出辅助线是解答此题的关键.