质量为100t的火车在轨道上行驶,火车内、外轨连线与水平面的夹角为α=37°,如下图所示,弯道半径R=30m,重力加速度取10m/s2.求:(1)当火车的速度为v1=10m/s时,轨道受到的侧压力多大?方向如何?(2)当火车的速度为v2=20m/s时,轨道受到的侧压力多大?方向如何?

问题描述:

质量为100t的火车在轨道上行驶,火车内、外轨连线与水平面的夹角为α=37°,如下图所示,弯道半径R=30m,重力加速度取10m/s2.求:

(1)当火车的速度为v1=10m/s时,轨道受到的侧压力多大?方向如何?
(2)当火车的速度为v2=20m/s时,轨道受到的侧压力多大?方向如何?

当火车正常行驶时,轮与轨道间无侧向压力,火车只受与轨道表面垂直
的支持力作用和火车的重力作用,如上图所示.其做圆周运动的圆心在水平面内,将FN1分解则有:
FN1cosα=G,FN1sinα=m

v2
R

所以
G
cosα
sinα=m
v2
R

所以v=
Rgtanα
=
30×10×
3
4
 m/s=15 m/s.
(1)由于10 m/s<15 m/s,故火车应受到内轨沿轨道斜面向上的侧压力作用,火车受力如下图所示.其做圆周运动的圆心仍在水平面内,将FN2及FN2′分解有:

G=FN2cosα+FN2′sinα①
FN2sinα-FN2′cosα=m
v
2
1
R

由①式得FN2=
G−FN2′sinα
cosα

将FN2代入②式得
G−FN2′sinα
cosα
•sinα-FN2′cosα=m
v
2
1
R

代入数据解得FN2′=
1
3
×106 N.方向指向外侧.
(2)由于20m/s>15m/s,外轨有侧压力,同理有:
G+FN2′sinα=FN2cosθ,
FN2sinα+FN2′cosα=m
v22
R

代入数据解得FN2′=
4
3
×106
N.方向指向内侧.
答:(1)当火车的速度为v1=10m/s时,轨道受到的侧压力大小为
1
3
×106 N,方向指向外侧.
(2)当火车的速度为v2=20m/s时,轨道受到的侧压力为
4
3
×106N
,方向指向内侧.
答案解析:当侧压力为零时,靠重力和支持力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律求出临界速度.然后讨论,得出轨道对火车侧压力的方向,根据牛顿第二定律求出侧压力的大小和方向.
考试点:向心力.
知识点:本题关键抓住火车所受重力和支持力的合力恰好提供向心力的临界情况,计算出临界速度,然后通过受力分析,运用牛顿第二定律进行求解.