P是三角形ABC外一点,O是P在平面上的射影,PA,PB,PC两两垂直,则O是ABC垂心,怎么证
问题描述：
P是三角形ABC外一点,O是P在平面上的射影,PA,PB,PC两两垂直,则O是ABC垂心,怎么证
答
证明：过O作CO交AB于D、连结PD，
∵PC⊥PA、PC⊥PB，∴PC⊥平面PAB，
∴PC⊥AB，
∵PO⊥平面ABC，O是P在ABC上的射影，
∴CD⊥AB，即点O在△ABC的AB边上的高上，
同理可证，点O在BC、CA边上的高上，即O是△ABC的垂心。证毕
答
PA⊥PB,PA⊥PC,且PB、PC交于P
所以 PA⊥平面PBC
又因为BC在平面PBC内,
所以PA⊥BC
由于OA是PA在平面ABC内的射影,根据三垂线逆定理可得：BC⊥OA.
同理,AB⊥OC,AC⊥OB
所以,O是三角形ABC的垂心.