△ABC为等边三角形,圆O为△ABC外接圆,P是弧BC上任意一点,PA交BC于D,求证PA平方=AC平方+PB*PC
问题描述：
△ABC为等边三角形,圆O为△ABC外接圆,P是弧BC上任意一点,PA交BC于D,求证PA平方=AC平方+PB*PC
答
∵ABPC是圆内接四边形，∴由托勒密定理，有：AC×PB＋AB×PC＝BC×PA。
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴由上式容易得出：PB＋PC＝PA。
∴PA^2＝PB^2＋PC^2＋2PB×PC。······①
∵ABPC是圆内接四边形，又△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BPC＝120°，
∴cos∠BPC＝－1/2。
∴由余弦定理，有：BC^2＝PB^2＋PC^2－2PB×PCcos∠BPC＝PB^2＋PC^2＋PB×PC。······②
①－②，得：PA^2－BC^2＝PB×PC，∴PA^2＝BC^2＋PB×PC，而BC＝AC，
∴PA^2＝AC^2＋PB×PC。
答
【简单一道相似题,楼上用什么xx定理?】证明：∵⊿ABC为等边三角形∴AB=AC∴∠ACB=∠APC【同圆内等弧所对的圆周角相等】又∵∠CAP=∠DAC【公共角】∴⊿ACD∽⊿APC（AA‘）∴PA/AC=AC/AD∴PA×AD=AC²∵∠APB=∠AP...