如图所示,在△ABC外作等腰三角形△ABD和等腰三角形△ACE,且使它们的顶角∠DAB=∠EAC,BE、CD相交于点P,AP的延长线交BC于点F,试判断∠BPF与∠CPF的关系,并加以证明.

问题描述:

如图所示,在△ABC外作等腰三角形△ABD和等腰三角形△ACE,且使它们的顶角∠DAB=∠EAC,BE、CD相交于点P,AP的延长线交BC于点F,试判断∠BPF与∠CPF的关系,并加以证明.

∠BPF=∠CPF
理由:作AG⊥CD于G,AH⊥BE于H,
∵∠DAB=∠EAC,
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,
∴∠DAC=∠BAE.
在△ADC和△ABE中

AD=AB
∠DAC=∠BAE
AC=AE

∴△ADC≌△ABE(SAS),
∴DC=BE.
∵AG⊥CD,AH⊥BE,
∴AG=AH.
在Rt△AGP和Rt△AHP中,
AP=AP
AG=AH

∴∠APG=∠APH.
∵∠APG=∠CPF,∠APH=∠BPF,
∴∠BPF=∠CPF.
答案解析:作AG⊥CD于G,AH⊥BE于H,根据条件可以先证明△ADC≌△ABE,就可以得出CD=EB,就可以证明△AGP≌△AHP就可以得出∠APG=∠APH,再根据对顶角相等就可以得出结论.
考试点:全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.
知识点:本题考查了等腰三角形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,对顶角的性质的运用,解答时证明三角形是关键,运用全等三角形的对应边上的高相等求解是难点.