等边三角形ABC,P是三角形外一点,且∠ABP+∠ACP=180°,求证：PB+PC=PA
问题描述：
等边三角形ABC,P是三角形外一点,且∠ABP+∠ACP=180°,求证：PB+PC=PA
答
证明：∵∠ABP+∠ACP=180°
∴ A、B、P、C四点共圆
在AP上取AQ=PC
在△ABQ和△CBP中
∵ AB=BC,AQ=PC
∠BAP=∠BCP（同弧上的圆周角相等）
∴△ABQ≌△CBP
故BQ=BP
又∠APB=∠ACB=60°
∴△BQP是等边三角形
∴ PB=PQ
于是 PA=PQ+QA=PB+PC