一道证明四点共圆的题目 在等边三角形ABC外取一点P 若PA=PB+PC 求证 A B P C四点共圆
问题描述:
一道证明四点共圆的题目
在等边三角形ABC外取一点P 若PA=PB+PC 求证 A B P C四点共圆
答
如题,以C为中心旋转△BPC,使得B点和A点重合,此时P的位置记为Q
1) 因为△AQC≌△BPC,所以AQ=BP,CQ=CP,∠ACQ=∠BCP
2) 因为CQ=CP,∠QCP=∠QCB+∠BCP=∠QCB+∠ACQ=∠ACB=60°,所以△CPQ是等边三角形,于是PQ=CP
3) AP=BP+CP=AQ+PQ,根据三角形两边之和大于第三边可知Q在线段AP上,于是∠APC=∠QPC=60°=∠ABC,即A、B、P、C四点共
证毕
如果你知道托勒密定理(参考:http://baike.baidu.com/view/148250.htm),就知道这其实是托勒密定理逆定理的一个应用