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如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．（1）求证：△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点，ACAB=2时，如图2，求OFOE的值；（3）当O为AC边中点，ACAB=n时，请直接写出OFOE的值．

分类: 作业答案 • 2022-01-03 16:09:45
问题描述：

如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．
作业帮
（1）求证：△ABF∽△COE；
（2）当O为AC的中点，

AC
AB
=2时，如图2，求
OF
OE
的值；
（3）当O为AC边中点，
AC
AB
=n时，请直接写出
OF
OE
的值．

答

（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=∠C．
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE．
∴△ABF∽△COE．
（2）过O作AC垂线交BC于H，则OH∥AB，
由（1）得∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C．
∴∠AFB=∠OEC，
∴∠AFO=∠HEO，
而∠BAF=∠C，
∴∠FAO=∠EHO，
∴△OEH∽△OFA，
∴OF：OE=OA：OH
又∵O为AC的中点，OH∥AB．
∴OH为△ABC的中位线，
∴OH=

1
2
AB，OA=OC=
1
2
AC，
而
AC
AB
＝2，
∴OA：OH=2：1，
∴OF：OE=2：1，即
OF
OE
=2；
（3）
OF
OE
=n．
答案解析：（1）要求证：△ABF∽△COE，只要证明∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE即可．
（2）作OH⊥AC，交BC于H，易证：△OEH和△OFA相似，进而证明△ABF∽△HOE，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得出所求的值．同理可得（3）
OF
OE
=n．
考试点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
知识点：本题难度中等，主要考查相似三角形的判定和性质．

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