若斜率为1直线l与椭圆x^2/4+y^2=1相交于A B两点,求AB的中点的轨迹方程.快呀,高分!
若斜率为1直线l与椭圆x^2/4+y^2=1相交于A B两点,求AB的中点的轨迹方程.
快呀,高分!
设两点P(x1,y1),Q(x2,y2)
x1^2/4+y1^2=1
x2^2/4+y2^2=1
两式相减得
(x1+x2)(x1-x2)/4+(y1+y2)(y1-y2)=0 ------ (1)
PQ斜率为(y2-y1)/(x2-x1)=1
所以y1-y2=x1-x2
带入(1)得 (x1+x2)/4+(y1+y2)=0 ------ (2)
设PQ中点为(x,y)，则x=1/2(x1+x2),y=1/2(y1+y2)
带入(2)得 2x/4+2y=0 即 x+4y=0
下面讨论x,y范围
因为PQ中点在椭圆内，所以PQ轨迹为x+2y=0在椭圆内的部分
y=-1/4x 所以 x^2/4+(-1/4x)^2x^2-4√5/5
点差法，设A(X1,Y1),B(X2,Y2),直线Y=X+B，联立直线与椭圆方程，得到关于B的2次方程，X1+X2= ,Y1+Y2= ,都可用B表示，设中点坐标（X,Y),则有X=（X1+X2)/2,Y=(Y1+Y2)/2,X和Y都可以用B表示，再反解，即B等于多少X,B等于多少Y，再另这两相等，就是XY得方程了~
设A(x1,y1)B(x2,y2)AB中点的为(x,y)
2x=x1+x2 ;2y=y1+y2
x1^2/4+y1^2=1
x2^2/4+y2^2=1 (做差）
k=(y1-y2)/(x1-x2)=-(x1+x2)/4(y1+y2)=-x/4y
即-x/4y=1 ===>x+4y=0
这是点差法!