设a∈R,函数f(x)=ax3-3x2.(Ⅰ)若x=2是函数y=f(x)的极值点,求a的值;(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+f′(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求a的取值范围.

问题描述:

设a∈R,函数f(x)=ax3-3x2
(Ⅰ)若x=2是函数y=f(x)的极值点,求a的值;
(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+f′(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求a的取值范围.

(Ⅰ)f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).因为x=2是函数y=f(x)的极值点,所以f'(2)=0,即6(2a-2)=0,因此a=1.经验证,当a=1时,x=2是函数y=f(x)的极值点.(Ⅱ)由题设,g(x)=ax3-3x2+3ax2-6x=ax2(x+3)-3x(...
答案解析:(Ⅰ)导函数在x=2处为零求a,是必要不充分条件故要注意检验
(Ⅱ)利用最大值g(0)大于等于g(2)求出a的范围也是必要不充分条件注意检验
考试点:函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值.


知识点:极值点处的导数等于零是此点为极值点的必要不充分条件,所以解题时一定注意检验.