若X不等于0,X不等于1,N属于正整数,则Sn=1+2x+3x^2+-----+nX^(n-1)=

xSn=x+2x^2+-----+nX^n 1式
Sn=1+2x+3x^2+-----+nX^(n-1) 2式
2式减1式得： （1-x）Sn=1+x+x^2+x^3+……+x^(n-1) - nX^n
=(1-X^n)/(1-X)-nX^n
所以Sn=…………省略，看着给分，错了莫怪

1）当x≠1时
令P=1+2x+3x^2+4x^3…+nx^(n-1)
则xP=1x+2x^2+3x^3+4x^4…+nx^n
故P-xP=1+x+x^2+x^3…+x^(n-1)-nx^n
即（1-x）P=（1*（1-x^n））/（1-x）-nx^n
所以P=（1-（1+n+nx）x^n）/（1-x）^2
即原式=（1-（1+n+nx）x^n）/（1-x）^2
2）当x=1时
原式=n(n+1)/2

Sn=1+2x+3x^2+-----+nX^(n-1)=
xSn= x +2x^2+...+(n-1)x^(n-1)+nx^n
两式相减：
(1-x)Sn=1+x+x^2+..x^(n-1)-nx^n=(1-x^n)/(1-x)-nx^n
Sn=(1-x^n)/(1-x)^2-nx^n/(1-x)