设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f′(x)=1x,g(x)=f(x)+f′(x).求g(x)的单调区间和最小值.

问题描述:

设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f′(x)=

1
x
,g(x)=f(x)+f′(x).求g(x)的单调区间和最小值.

由题设易知f(x)=lnx,g(x)=lnx+

1
x
g′(x)=
x-1
x2
,令g'(x)=0,得x=1.
当 x∈(0,1)时,g'(x)<0,故(0,1)是g(x)的单调减区间,
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的单调增区间,
因此,x=1是 g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,
所以最小值为g(1)=1.
答案解析:由f′(x)=
1
x
,确定函数f(x)=lnx,然后求g'(x),利用导数求g(x)的单调区间和最小值.
考试点:利用导数研究函数的单调性
知识点:本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最小值,要求熟练掌握导数和单调性与极值、最值的关系.