已知函数f（x）=x3+3bx2+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，且f（x）=0的一个根为-b（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求证：f（x）=0还有不同于-b的实根x1、x2，且x1、-b、x2成等差数列；（Ⅲ）若函数f（x）的极大值小于16，求f（1）的取值范围．
问题描述：
已知函数f（x）=x3+3bx2+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，且f（x）=0的一个根为-b
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求证：f（x）=0还有不同于-b的实根x1、x2，且x1、-b、x2成等差数列；
（Ⅲ）若函数f（x）的极大值小于16，求f（1）的取值范围．
答
答案解析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）=x3+3bx2+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，可得x=0是极大值点，从而f'（0）=0，故可求c的值；
（Ⅱ）令f'（x）=0，得x=0或-2b，根据-b是方程f（x）=0的一个根，可得f（x）=x3+3bx2-2b3=（x+b）（x2+2bx-2b2），从而可得方程x2+2bx-2b2=0的根的判别式△=4b2-4（-2b2）=12b2＞0，结合（-b）2+2b（-b）-2b2=-3b2≠0，可得结论；
（Ⅲ）根据函数的单调性可知x=0是极大值点，从而可得-2＜b≤-1，构造函数g（b）=f（1）=-2b3+3b+1，可得g（b）在（-2，-1]上单调递减，即可求得f（1）的取值范围．
考试点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；等差数列的性质．
知识点：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，正确运用导数是关键．