某商品进价40元/件,当售价为50元/件时,每星期可卖出500件.市场调查反映,如果每件售价每降1元,每星期可多卖出100件,但售价不能低于42元/件,且每星期至少销售800件.设每件降x元(x为正整数),每星期利润为y元.(1)求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围;(2)若某星期利润为5600元,求商品售价.

问题描述:

某商品进价40元/件,当售价为50元/件时,每星期可卖出500件.市场调查反映,如果每件售价每降1元,每星期可多卖出100件,但售价不能低于42元/件,且每星期至少销售800件.设每件降x元(x为正整数),每星期利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围;
(2)若某星期利润为5600元,求商品售价.

(1)依题意,得y=(50-40-x)•(500+100x)=-100x2+500x+5000,

50−x≥42
500+100x≥800

解得3≤x≤8;
(2)当y=5600时,-100x2+500x+5000=5600,
解得x1=2(舍去),x2=3,
∴商品售价为:50-2=48元或50-3=47元.
答案解析:(1)根据利润y=每件利润×销售量,每件利润=50-40-x,销售量=500+100x,而售价50-x≥42,销售量=500+100x≥800,列不等式组求x的取值范围;
(2)根据(1)的关系式,令y=5600求x的值,根据x的范围求售价.
考试点:二次函数的应用;一元二次方程的应用.

知识点:本题考查了二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.