已知椭圆X2/a2+Y2/b2=1(a的平方分之X的平方+b的平方分之Y的平方)上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1,B2的连线与X轴交于P,Q两点,O为椭圆中心,求证:OP的绝对值乘以OQ的绝对值是定值.

问题描述:

已知椭圆X2/a2+Y2/b2=1(a的平方分之X的平方+b的平方分之Y的平方)上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1,B2的连线与X轴交于P,Q两点,O为椭圆中心,求证:OP的绝对值乘以OQ的绝对值是定值.

设任一点M(acost,bsint) 短轴两端点A(0,b),B(0,-b) MA交x轴于P(x1,0),MB交x轴于Q(x2,0) b/x1=(b-bsint)/acost x1=acost/(1-sint) bsint/(acost-x2)=b/x2 x2=acost/(1+sint) |OP|*|OQ|=|x1|*|x2|=a^2cos^2t/(1-sint)(1+sint) =a^2 所以|OP|*|OQ|为定值.