如图,在扇形OAB中,⊙O1分别与AB、OA、OB切于点C、D、E,∠AOB=60°,⊙O的面积为4π,若用此扇形做一个圆锥的侧面,求圆锥的表面积.

问题描述:

如图,在扇形OAB中,⊙O1分别与

AB
、OA、OB切于点C、D、E,∠AOB=60°,⊙O的面积为4π,若用此扇形做一个圆锥的侧面,求圆锥的表面积.


∵⊙O1的面积为4π,
∴⊙O1的半径为2,
连接O1D,OO1
∵OA、OB是⊙O1的切线,
∴∠DOO1=

1
2
∠AOB=30°,∠ODO1=90°,
∴OO1=2O1D=4,
∴扇形的半径(圆锥的母线长l)OC=4+2=6.
AB
=
1
3
×π×6
=2π,
AB
成为圆锥底面周长时,底面半径为r=(2π)÷(2π)=1,
所以圆锥的表面积为:πr(r+l)=3π.
答案解析:由圆的面积可求得圆的半径,再利用切线的性质作出垂直切线的半径,求扇形的半径,进一步可求出圆锥的表面积.
考试点:切线的性质;圆锥的计算.
知识点:本题主要考查线线的性质及圆锥表面积的计算,注意圆锥的侧面与圆成圆锥的扇形的关系,即扇形的半径为圆锥的母线,扇形的弧长为圆锥底面圆的周长.