设a,b,c∈[-1,1],求证ab+bc+ac+1≥0,

不妨设|a|A（a，0），B（b，0）且f(x)=x^2-(a+b)x+ab的图像开口向上，因为|a|=0,因为 c^2所以 1+(a+b)c+ab>=0即ab+bc+ac+1≥0

abc有四种情况
1） 三正 显然成立
2）两正一负 不妨设 1≥a≥0 1≥b≥0 0>c≥-1 要证ab+bc+ac+1≥0，c(a+b)≥-(ab+1)，因为0>c≥-1
即证ab+1≥a+b 移项 即(1-a)(1-b)≥0 因为1≥a≥0 1≥b≥0得证
3）一正两负 不妨设 0>a≥-1 0>b≥-1 1≥c>0 要证ab+bc+ac+1≥0，c(a+b)≥-(ab+1)，因为1≥c>0
即证a+b)≥-(ab+1) 移项 即(1+a)(1+b)≥0 因为 0>a≥-1 0>b≥-1 得证
4） 三负 显然成立
所以命题成立

将ab+bc+ac+1看成a的函数f(a)=ab+bc+ac+1=(b+c)a+bc+1是一次函数或常值函数,在[-1,1]上的图像是一线段因为f(1)=b+c+bc+1=(b+1)(c+1)因为 b,c∈[-1,1] 所以 f(1)≥0因为f(-1)=-b-c+bc+1=(b-1)(c-1)因为 b,c∈[-1,1] ...

分类讨论法：
（1）a,b,c同号时，ab+bc+ac+1大于0。
（2）a,b,c不同号时，一正两负，两正一负.由于abc的地位是一样的，可设
（I）a>0,bbc+b+c+1=(b+1)(C+1）>0
（II）a>0,b>0,cab-b-a+1=(b-1)(a-1)>0
(3)a,b,c中有的是零，易得ab+bc+ac+1大于0。
综合得ab+bc+ac+1大于0。
(注，（I）a>0,bb,ac>c,（II）a>0,b>0,c-b,ac>-a)