如图，直线y＝−43x+4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②设点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

答

（1）证明：y=-

4

3

x+4，
∵当x=0时，y=4；
当y=0时，x=3，
∴B（3，0），C（0，4），
∵A（-2，0），
由勾股定理得：BC=

32+42

=5，
∵AB=3-（-2）=5，
∴AB=BC=5，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）①∵C（0，4），B（3，0），BC=5，
∴sin∠B=

OC

BC

=

4

5

=0.8．
过N作NH⊥x轴于H．
∵点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度，
又∵AB=BC=5，
∴当t=5秒时，同时到达终点，
∴△MON的面积是S=

1

2

×OM×NH，
∴S=

1

2

|t-2|×0.8t，
∴S=|t-2|×0.4t；
②点M在线段OB上运动时，存在S=4的情形．理由如下：
∵C（0，4），B（3，0），BA=5，
∴sin∠B=

OC

BC

=

4

5

=0.8，
根据题意得：∵S=4，
∴|t-2|×0.4t=4，
∵点M在线段OB上运动，OA=2，
∴t-2＞0，
即（t-2）×0.4t=4，
即t²-2t-10=0，
解得：t=1+

11

，t=1-

11

（舍去），
∴点M在线段OB上运动时，存在S=4的情形，此时对应的t值是（1+

11

）秒．
③∵C（0，4）B（3，0）BC=5，
∴cos∠B=

OB

BC

=

3

5

=0.6．
分为三种情况：
I、当∠NOM=90°时，N在y轴上，即此时t=5；
II、当∠NMO=90°时，M、N的横坐标相等，即t-2=3-0.6t，解得：t=3.125，
III、∠MNO不可能是90°，
即在运动过程中，当△MON为直角三角形时，t的值是5秒或3.125秒．
答案解析：（1）求出x=0时y的值，求出y=0时x的值，求出B、C的坐标，根据勾股定理求出BC、AC，求出BA，即可得出答案；
（2）①过N作NH⊥x轴于H，推出当t=5秒时，同时到达终点，根据三角形的面积公式得出△MON的面积是S=

1

2

×OM×NH，代入求出即可；
②根据题意得出|t-2|×0.4t=4，根据t-2＞0，得出方程（t-2）×0.4t=4，求出方程的解即可；
③求出cos∠B=0.6，分为三种情况：I、当∠NOM=90°时，N在y轴上，求出t=5；II、当∠NMO=90°时，得出t-2=3-0.6t，求出t，III、∠MNO不可能是90°，即可得出答案．
考试点：一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；三角形的面积；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义．
知识点：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理和计算的能力，用了方程思想，注意要进行分类讨论．