已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2+4，bn＝1+anan．（1）求公差d的值；（2）若a1＝−52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值；（3）若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围．

答

（1）∵S₄=2S₂+4，∴4a1+

3×4

2

d＝2(2a1+d)+4，解得d=1，
（2）∵a1＝−

5

2

，∴数列a_n的通项公式为 an＝a1+(n−1)＝n−

7

2

，∴bn＝1+

1

an

＝1+

1

n− 7 2

，
∵函数f(x)＝1+

1

x− 7 2

在(−∞，

7

2

)和(

7

2

，+∞)上分别是单调减函数，
∴b₃＜b₂＜b₁＜1，当n≥4时，1＜b_n≤b₄，∴数列{b_n}中的最大项是b₄=3，最小项是b₃=-1．
（3）由bn＝1+

1

an

 得  bn＝1+

1

n+a1−1

，
又函数f(x)＝1+

1

x+a1−1

在（-∞，1-a₁）和（1-a₁，+∞）上分别是单调减函数，
且x＜1-a₁ 时，y＜1；x＞1-a₁时，y＞1．
∵对任意的n∈N^*，都有b_n≤b₈，∴7＜1-a₁＜8，∴-7＜a₁＜-6，∴a₁的取值范围是（-7，-6）．
答案解析：（1）根据 S₄=2S₂+4，可得 4a1+

3×4

2

d＝2(2a1+d)+4，解得d的值．
（2）由条件先求得a_n的解析式，即可得到b_n的解析式bn＝1+

1

an

＝1+

1

n− 7 2

，由函数f(x)＝1+

1

x− 7 2

在(−∞，

7

2

)和(

7

2

，+∞)上分别是单调减函数，可得b₃＜b₂＜b₁＜1，当n≥4时，1＜b_n≤b₄，故数列{b_n}中的
最大项是b₄=3，最小项是b₃=-1．
（3）由 bn＝1+

1

n+a1−1

，函数f(x)＝1+

1

x+a1−1

在（-∞，1-a₁）和（1-a₁，+∞）上分别是单调减函数，x＜1-a₁ 时，y＜1； x＞1-a₁时，y＞1，再根据b_n≤b₈，可得 7＜1-a₁＜8，从而得到a₁的取值范围．
考试点：等差数列的性质；数列的函数特性．
知识点：本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，数列的函数特性，以及数列的单调性的应用，得到
7＜1-a₁＜8，是解题的难点．