在平面直角坐标系中,抛物线经过A(-1,0),B(3,0),c(0,-1)三点,1.求该抛物线表达式.2.点Q在y轴上,点P在抛物线上,要以点Q,P,A,B为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P坐标,

问题描述:

在平面直角坐标系中,抛物线经过A(-1,0),B(3,0),c(0,-1)三点,
1.求该抛物线表达式.
2.点Q在y轴上,点P在抛物线上,要以点Q,P,A,B为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P坐标,

第二问:①AB为边时,只要PQ‖AB且PQ=AB=4即可。
又知点Q在y轴上,
∴点P的横坐标为4或-4,这时符合条件的点P有两个,分别记为P1,P2 .
而当x=4时,y=5/3;当x=-4时,y=7,
此时P1(4,5/3)P2(-4,7)
②当AB为对角线时,只要线段PQ与线段AB互相平分即可
又知点Q在Y轴上,且线段AB中点的横坐标为1
∴点P的横坐标为2,这时符合条件的P只有一个记为P3
而且当x=2时y=-1 ,此时P3(2,-1)
综上,满足条件的P为P1(4,5/3)P2(-4,7)P3(2,-1)

设y=ax²+bx+c
将A,B,C分别代入:
0=a-b+c
0=9a+3b+c
-1=c,a=1/3,b=-2/3
∴y=x²/3-2x/3-1
=(1/3)(x-1)²-4/3
对称轴x=1.
∵B-A=4,∴|PQ|=4
(1)令x=4,y=16/3-8/3-1=5/3
∴P(4,5/3),Q(0,5/3)
(2)令x=-4,y=16/3+8/3-1=7
∴P(-4,7),Q(0,7)

1.由a,b两点可知,对称轴是x=1,于是表达式可写成y=(x-1)的平方-常数值,将c点带入可得到表达式为y=(x-1)的平方-4.
2.平行四边形只要满足AB=QP且AB‖QP,或者是AQ=BP且AQ‖BP,或者AP=BQ且AP‖BQ,根据这个条件求出p点坐标即可.