设函数f(x)=alnx-bx2(x>0),若函数f(x)在x=1处与直线y=-12相切.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)在[1e,e]上的最大值.

问题描述:

设函数f(x)=alnx-bx2(x>0),若函数f(x)在x=1处与直线y=-

1
2
相切.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)在[
1
e
,e]上的最大值.

(1)∵函数f(x)=alnx-bx2(x>0),∴f′(x)=ax-2bx,∵函数f(x)在x=1处与直线y=-12相切,∴f′(1)=a−2b=0f(1)=−b=−12,解得a=1b=12;(2)f(x)=lnx-12x2,f′(x)=1−x2x,当1e≤x≤e时,令f'(...
答案解析:(1)对f(x)进行求导,f′(x)欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.列出关于a,b的方程求得a,b的值.
(2)研究闭区间上的最值问题,先求出函数的极值,比较极值和端点处的函数值的大小,最后确定出最大值.
考试点:利用导数求闭区间上函数的最值.
知识点:本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于中档题.