满足方程P(x2)+2x2+10x=2xP(x+1)+3,则多项式P(x)的解析式为
问题描述：
满足方程P(x2)+2x2+10x=2xP(x+1)+3,则多项式P(x)的解析式为
答
设p(x)=a*x+b；代入上式得
a*x*x+b+2*x*x+10*x=2*a*x*x+2*(a+b)+3
合并同类项并比较可得
a+2=2*a;
a+b=5;
b=3;
上面三式可解得 a=2,b=3;
故多项式P(x)的解析式为p(x)=2*x+3
答
P(x²)+2x²+10x=2xP(x+1)+3
假定P(x)的最高次数为 n 则
P(x²)的最高次数为 n² ,xP(x+1)的最高次数为n+1
两边相等,则最高次数亦相同
即
max(n²,2)=n+1
n=1 (很显然对于整数n,n²≠n+1)
即P(x)是一次多项式,设P(x)=ax+b
ax²+b+2x²+10x=2x[a(x+1)+b]+3
(a+2)x²+10x+2=2ax²+2(a+b)x+3
a+2=2a
a+b=5
b=3
解得
a=2 b=3
P(x)=2x+3
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