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已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f(32−x)＝f(x)，f（-2）=-3，数列{an}满足a1=-1，且Sn=2an+n，（其中Sn为{an}的前n项和）.则f（a5）+f（a6）=（　　）A. -3B. -2C. 3D. 2

分类: 作业答案 • 2022-01-02 16:25:12
问题描述：

已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f(

3
2
−x)＝f(x)，f（-2）=-3，数列{an}满足a1=-1，且Sn=2an+n，（其中Sn为{an}的前n项和）.则f（a5）+f（a6）=（　　）
A. -3
B. -2
C. 3
D. 2

答

∵函数f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∵f(

3
2
−x)＝f(x)，
∴f(
3
2
−x)＝−f(−x)
∴f（3+x）=f（x）
∴f（x）是以3为周期的周期函数．
∵a1=-1，且Sn=2an+n，
∴a5=-31，a6=-63
∴f（a5）+f（a6）=f（-31）+f（-63）=f（2）+f（0）=f（2）=-f（-2）=3
故选C
答案解析：先由函数f（x）是奇函数和f(
3
2
−x)＝f(x)，推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3为周期的周期函数．再由a1=-1，且Sn=2an+n，推知a5=-31，a6=-63计算即可．
考试点：函数奇偶性的性质；函数的周期性．
知识点：本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点．

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