设等比数列{an}的前n项和为Sn,则x=S2n+S22n,y=Sn(S2n+S3n)的大小关系是( )A. x≥yB. x=yC. x≤yD. 不确定
问题描述:
设等比数列{an}的前n项和为Sn,则x=S2n+S22n,y=Sn(S2n+S3n)的大小关系是( )
A. x≥y
B. x=y
C. x≤y
D. 不确定
答
对于等比数列1,-1,1,-1,1,-1…,S2k=0,S4k-S2k=0,S6k-S4k=0…,令n=2k,此时有x=y=0,
对于Sn,S2n-Sn,S3n -S2n ,…各项不为零时则
由于等比数列{an}的前n项和为Sn,
∴Sn,S2n-Sn,S3n -S2n ,是一个公比为qn的等比数列,
∴S2n-Sn=Sn×qn,S3n -S2n=Sn×q2n
∴S2n =Sn ×(1+qn),S3n =Sn ×(1+qn+q2n)
∴x=S2n+S22n=S2n ×[1+(1+qn)2]=S2n ×(2+2qn+q2n)
y=Sn(S2n+S3n)=Sn[Sn ×(1+qn)+Sn ×(1+qn+q2n)]=S2n ×(2+2qn+q2n)
由上知,x=y
故选B
答案解析:由题设条件,等比数列{an}的前n项和为Sn,x=S2n+S22n,y=Sn(S2n+S3n),要比较x,y的大小,可先将x,y的表达式进行整理,根据等比数列的性质将两个数用相同的量表示出来,再比较它们的大小
考试点:数列与不等式的综合.
知识点:本题考查了等比数列的性质,等比数列的和的性质,解题的关键是熟练掌握等比数列的性质,且能进行准确计算将x,y的表达式化简,比较大小的题,两相关的式变化为用相同的量表示是解题的重点