数列{an}的前n项和为Sn=2n+1-2，数列{bn}是首项为a1，公差为d（d≠0）的等差数列，且b1，b3，b9成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）若cn=2(n+1)bn（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．

问题描述：

数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ⁺¹-2，数列{b_n}是首项为a₁，公差为d（d≠0）的等差数列，且b₁，b₃，b₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=

(n+1)bn

（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

答

（Ⅰ）因为S_n=2ⁿ⁺¹-2，
所以，当n=1时，a₁=S₁=2¹⁺¹-2=2=2¹，
当n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，（2分）
又a₁=S₁=2¹⁺¹-2=2=2¹，也满足上式，
所以数列{a_n}的通项公式为an＝2n．（3分）
b₁=a₁=2，设公差为d，则由b₁，b₃，b₉成等比数列，
得（2+2d）²=2×（2+8d），（4分）
解得d=0（舍去）或d=2，（5分）
所以数列{b_n}的通项公式为b_n=2n．（6分）
（Ⅱ）c_n=

(n+1)bn

＝

n(n+1)

（8分）
数列{c_n}的前n项和：
T_n=

1×2

2×3

3×4

+…+

n×(n+1)

（10分）
=1-

−

+…+

−

n+1

=1-

n+1

．（12分）
答案解析：（Ⅰ）利用公式an＝

S1，n＝1

Sn−Sn−1，n≥2

，能求出数列{a_n}的通项公式；利用等差数列的通项公式和等比数列的性质能求出数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由c_n=

(n+1)bn

＝

n(n+1)

，利用裂项求和法能求出数列{c_n}的前n项和．
考试点：数列的求和．
知识点：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．

数列{an}的前n项和为Sn=2n+1-2，数列{bn}是首项为a1，公差为d（d≠0）的等差数列，且b1，b3，b9成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）若cn=2(n+1)bn（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．

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