f(x)是以T为周期的函数,求f(x)+f(2x)+f(3x)+f(4x)的周期函数,

f(x)是以T为周期的函数，
即：f(x)=f(x+T)=f(x+2T)=f(x+3T)=f(x+4T)……
f(2x)=f(2x+T)
设其最小正周期为T1,
f(2(x+T1))=f(2x+2T1)
则必有：2T1=T,T1=T/2
即f(2x)最小正周期为T/2
同理：f(3x)、f(4x)最小正周期为T/3、T/4
故f(x)+f(2x)+f(3x)+f(4x)的周期应为最小公共周期！
其中四个分式的周期分别为；T、T/2、T/3、T/4
最小公共周期为T

对于F(X)有F(X)=F(X+T)
F(2X)=F(2X+T)=F〔2（X+T/2）〕，所以F（2X）周期为T/2。
同理，F（3X）、F（4X）的周期分别为T/3和T/4，最小公倍数是T
因此所求函数的周期为T

f(2x)周期是T/2
f(3x)周期是T/3
f(4x)周期是T/4
所以就是求T,T/2,T/3,T/4的最小公倍数
即分子的最小公倍数和分母的最大公因数
T就是T/1
所以分子的最小公倍数是T
分母的最大公因数是1
所以f(x)+f(2x)+f(3x)+f(4x)的周期是T

周期还是T
f(x)的周期是T
f(2x)的周期是T/2
f(3x)的周期是T/3
f(4x)的周期是T/4
加一块，应该是这几个周期的最小公倍数，即T
证明：
f(X+T)+f[2(X+T)]+f[3(X+T)]+f[4(X+T)]
=f(x)+f(2x)+f(3x)+f(4x)