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函数f（x）=lnx-1x−1在区间（k，k+1）（k∈N*）上存在零点，则k的值为（　　）A. 0B. 2C. 0或2D. 1或2

分类: 作业答案 • 2021-12-18 21:44:59
问题描述：

函数f（x）=lnx-

1
x−1
在区间（k，k+1）（k∈N*）上存在零点，则k的值为（　　）
A. 0
B. 2
C. 0或2
D. 1或2

答

由函数的解析式可得函数的定义域为{x|x＞0 且x≠1}，求得函数的导数f′（x）=

1
x
+
1
(x−1)2
 在它的定义域内为正实数，
故函数f（x）在区间（0，1），及（1，+∞）都是单调递增的，
再根据 f（
1
e2
）=-2-
1
1
e2
−1
=-2+
e2
e2−1
=-2+
(e2−1)+1
e2−1
=-1+
1
e2−1
＜0，f（
1
e
）=-1+
e
e−1
=-1+
(e−1)+1
e−1
=
1
e−1
＞0，
可得 f（
1
e2
）f（
1
e
）＜0，故函数f（x）在区间（
1
e2
 
1
e
）上有一个零点，故函数f（x）在区间（0，1）上有一个零点，故k=0满足条件．
再由 f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3-
1
2
＞0，f（2）f（3）＜0，可得函数在（2，3）上存在1个零点，故k=2满足条件．
故选 C．
答案解析：利用导数求得函数f（x）在区间（0，1），及（1，+∞）都是单调增的，再根据 f（
1
e2
）＜0，f（
1
e
）＞0，可得 f（
1
e2
）f（
1
e
）＜0，故函数f（x）在区间
（
1
e2
，
1
e
）上有一个零点，故函数f（x）在区间（0，1）上有一个零点，故k=0满足条件．
同理由 f（2）f（3）＜0，可得函数在（2，3）上存在1个零点，故k=2满足条件，综合可得结论．
考试点：函数零点的判定定理．
知识点：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数零点的判定定理的应用，属于基础题

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