设函数f（x）=x3-2ex2+mx-lnx，记g（x）=f(x)x，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（ ）A. （-∞，e2+1e]B. （0，e2+1e]C. （e2+1e，+∞]D. （-e2-1e，e2+1e]
问题描述：
设函数f（x）=x3-2ex2+mx-lnx，记g（x）=
，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（ ）f(x) x
A. （-∞，e2+
]1 e
B. （0，e2+
]1 e
C. （e2+
，+∞]1 e
D. （-e2-
，e2+1 e
] 1 e
答
∵f（x）=x3-2ex2+mx-lnx的定义域为（0，+∞），
又∵g（x）=
，f(x) x
∴函数g（x）至少存在一个零点可化为
函数f（x）=x3-2ex2+mx-lnx至少有一个零点；
即方程x3-2ex2+mx-lnx=0有解，
则m=
=-x2+2ex+
-x3+2ex2+lnx x
，lnx x
m′=-2x+2e+
=-2（x-e）+1-lnx x2
；1-lnx x2
故当x∈（0，e）时，m′＞0，
当x∈（e，+∞）时，m′＜0；
则m=-x2+2ex+
在（0，e）上单调递增，lnx x
在（e，+∞）上单调递减，
故m≤-e2+2•e•e+
=e2+1 e
；1 e
又∵当x+→0时，m=-x2+2ex+
→-∞，lnx x
故m≤e2+
；1 e
故选A．
答案解析：由题意先求函数的定义域，再化简为方程x3-2ex2+mx-lnx=0有解，则m=
=-x2+2ex+
-x3+2ex2+lnx x
，求导求函数m=-x2+2ex+lnx x
的值域，从而得m的取值范围．lnx x
考试点：利用导数研究函数的极值
知识点：本题考查了导数的综合应用及函数的零点与方程的关系，属于中档题．