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已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，则p的值为（　　）A. 1B. 2C. 3D. 4

分类: 作业答案 • 2022-01-02 16:20:17
问题描述：

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，则p的值为（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答

设A（x1，y1），B（x2，y2），则
y12＝2px1，①
y22＝2px2，②
①-②，得：（y1-y2）（y1+y2）=2p（x1-x2），
∴
y1−y2
x1−x2
•（y1+y2）=2p，
∵过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，
∴
y1−y2
x1−x2
=1，AB方程为：y=x-
p
2
，
∵
y1+y2
2
为AB中点纵坐标，
∴y1+y2=2p，
∵y1＝x1−
p
2
，y2＝x2−
p
2
，
∴y1+y2=x1+x2-p，
∴x1+x2=y1+y2+p，
∵
x1+x2
2
＝
(y1+y2+p)
2
=
3p
2
，
∴AB中点横坐标为
3p
2
，
∵线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，
∴
p
2
+
3p
2
＝4，解得p=2．
故选B．
答案解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），由点差法得到
y1−y2
x1−x2
•（y1+y2）=2p，因为过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，所以
y1−y2
x1−x2
=1，AB方程为：y=x-
p
2
，故y1+y2=2p，AB中点横坐标为
3p
2
，再由线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，能求出p．
考试点：直线与圆锥曲线的关系．
知识点：本题考查直线与抛物线的位置关系及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

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