已知抛物线C:y2=2Px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5. (Ⅰ)求抛物线C的方程; (Ⅱ)设直线y=kx+b(k≠0)与抛物线C交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=a(a>0),求证:a2

问题描述:

已知抛物线C:y2=2Px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线y=kx+b(k≠0)与抛物线C交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=a(a>0),求证:a2=

16(1−kb)
k2

(Ⅰ)由抛物线定义,抛物线C:y2=2Px(p>0)上点P(4,y0)到焦点的距离等于它到准线x=−

p
2
的距离,得5=4+
p
2

∴p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x;
(Ⅱ)证明:由
y2=4x
y=kx+b
,得ky2-4y+4b=0,
当△=16-16kb>0,即kb<1且k≠0 时,
y1+y2
4
k
y1y2
4b
k

由|y1-y2|=a,即(y1+y2)2−4y1y2
16
k2
16kb
k
a2

所以a2
16(1−kb)
k2