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已知抛物线C：y2=2Px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+b（k≠0）与抛物线C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0），求证：a2

分类: 作业答案 • 2022-09-24 17:01:43

问题描述：

已知抛物线C：y²=2Px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+b（k≠0）与抛物线C交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a＞0），求证：a²=

16(1−kb)

k2

．

答

（Ⅰ）由抛物线定义，抛物线C：y²=2Px（p＞0）上点P（4，y₀）到焦点的距离等于它到准线x＝−

p

2

的距离，得5＝4+

p

2

，
∴p=2，
所以抛物线C的方程为y²=4x；
（Ⅱ）证明：由

y2＝4x

y＝kx+b

，得ky²-4y+4b=0，
当△=16-16kb＞0，即kb＜1且k≠0 时，
y1+y2＝

4

k

，y1y2＝

4b

k

，
由|y₁-y₂|=a，即(y1+y2)2−4y1y2＝

16

k2

−

16kb

k

＝a2，
所以a2＝

16(1−kb)

k2

．