已知a、b、c是互不相等的非零实数.求证:三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.

问题描述:

已知a、b、c是互不相等的非零实数.求证:三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.

证明:反证法:假设三个方程中都没有两个相异实根,则△1=4b2-4ac≤0,△2=4c2-4ab≤0,△3=4a2-4bc≤0.相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.①由题意a、b、c互不相等,∴①式...
答案解析:假设要证的结论的反面成立,即三个方程中都没有两个相异实根,则他们的判别式都小于0,利用不等式的性质可得
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0,由于a、b、c互不相等,进而可得矛盾,原命题得到证明.
考试点:反证法与放缩法.
知识点:本题考查反证法证题的方法和步骤,假设结论的反面成立,依据定义、定理和性质推出矛盾,说明假设不对,从而要证的结论成立.