设函数f（x）的定义域为（0,正无穷）,且对于任意正实数x,y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立已知f（2）=1,且x》1时,f（x）》01.判断y=f（x）在（0,正无穷）上的单调性,并证明.2.一个各项均为正数的数列{an}满足f（Sn）=f(an)+f(an+1)-1,其中sn是数列{an}的前n项和,求sn和an
问题描述：
设函数f（x）的定义域为（0,正无穷）,且对于任意正实数x,y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立
已知f（2）=1,且x》1时,f（x）》0
1.判断y=f（x）在（0,正无穷）上的单调性,并证明.
2.一个各项均为正数的数列{an}满足f（Sn）=f(an)+f(an+1)-1,其中sn是数列{an}的前n项和,求sn和an
答
1
f(1)=f(1)+f(1)→f(1)=0;
f（xy）=f（x）+f（y）→f(x)=f（xy）-f（y）;
即f(X/y)=f(X)-f(y)
令X＞y＞0,则X/y＞1;
∴f(X)-f(y)=f(X/y)＞0
∴f(X)＞f(y)
∴y=f（x）在（0,正无穷）上的单调递增
2
f（Sn）=f(an)+f(an+1)-1→f(Sn)+f(2)=f(an)+f(an+1)
2Sn=an^2+an 一
则2S=a^2+a 二
一-二得
2(Sn-S)=2an=(an^2-a^2)+an-a
→an+a=(an+a)(an-a)
an-a=1
那么,(an-a)+(a-a)+...+(a2-a1)=an-a1=n-1
S1=a1,则2S1=2a1=a1·(a1+1).
a1=1
∴an=n-1+a1=n
an是公差为1,首相为1的等差数列
∴Sn=n(n+1)/2