设n维向量组α1,α2,...,αn线性无关,证明：若n维向量β与每个αi（i=1,2,...,n）都正交,则β=0
问题描述：
设n维向量组α1,α2,...,αn线性无关,证明：若n维向量β与每个αi（i=1,2,...,n）都正交,则β=0
答
设向量为列向量,若n维向量β与每个αi都正交,那么
αi'*β=0（αi'表示αi的转置）
即
α1'*β=0
α2'*β=0
...
αn'*β=0
令矩阵A为以αi'为行的n阶方阵,i=1,2,3...n
所以得到方程组A*β=0,将β中的每个元素看做未知量
由于向量组α1,α2,...,αn线性无关,所以|A|不等于0
根据克莱姆法则,该方程组只有0解
所以β=0