已知3阶方阵A的特征值为1,0,-1,对应的特征向量依次为P1=(1,2,2)T,P2=(2,-2,1)T,P3=(-2,-1,2)T,求A

问题描述:

已知3阶方阵A的特征值为1,0,-1,对应的特征向量依次为P1=(1,2,2)T,P2=(2,-2,1)T,P3=(-2,-1,2)T,求A

三个特征向量组成一个特征向量组,然后由公式 P逆*A*P=对角阵(由三个特征值组成) 左边乘以P右边乘以P逆,即可得到A,此题关键是求P逆比较麻烦一点,先计算出P逆,然后运用简单的矩阵乘法即可得到结果。

令P=(p1,p2,p3)=
1 2 -2
2 -2 -1
2 1 2
则由已知,有 P^-1AP=diag(1,0,-1)
所以 A = Pdiag(1,0,-1)P^-1=
-1/3 0 2/3
0 1/3 2/3
2/3 2/3 0