已知函数f(x)＝a−2x．（Ⅰ）讨论f（x）的奇偶性；（Ⅱ）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性并用定义证明．
问题描述：
已知函数f(x)＝a−
．2 x
（Ⅰ）讨论f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性并用定义证明．
答
（Ⅰ）由题意可得
≠0，解得 x≠0，故函数f（x）的定义域为{x|x≠0}关于原点对称．2 x
由f(x)＝a−
，可得f(−x)＝a+2 x
，2 x
若f（x）=f（-x），则
＝0，无解，故f（x）不是偶函数．4 x
若f（-x）=-f（x），则a=0，显然a=0时，f（x）为奇函数．
综上，当a=0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）不具备奇偶性
（Ⅱ）函数f（x）在（-∞，0）上单调递增；
证明：设 x1＜x2＜0，则f(x2)−f(x1)＝(a−
)−(a−2 x2
)＝2 x1
−2 x1
＝2 x2
，2(x2−x1)
x1x2
由x1＜x2＜0，可得 x1x2＞0，x2 -x1＞0，
从而
＞0，故f（x2）＞f（x1），2(x2−x1)
x1x2
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增．
答案解析：（Ⅰ）先求出函数的定义域关于原点对称，若f（x）=f（-x），则
＝0，无解，故f（x）不是偶函数；若f（-x）=-f（x），则a=0，显然a=0时，f（x）为奇函数，由此得出结论．4 x
（Ⅱ）判断函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，设 x1＜x2＜0，证明f（x2）-f（x1）＞0，从而得出结论．
考试点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
知识点：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断、证明，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．