已知P是△ABC所在平面外一点,PA、PB、PC两两垂直,H是△ABC的垂心,求证:PH⊥平面ABC.

问题描述:

已知P是△ABC所在平面外一点,PA、PB、PC两两垂直,H是△ABC的垂心,求证:PH⊥平面ABC.


证明:延长BH交AC于F,延长CH交AB于E,
∵PB⊥PA,PB⊥PC,
∴PB⊥平面PAC,
∵BF⊥AC,
∴PF⊥AC,
∴CA⊥平面PFB,
∵PH⊂平面PFB,
∴PH⊥AC,
同理可证PH⊥AB,
∵AC⊂平面ABC,AB⊂平面ABC,AB∩AC=A,
∴PH⊥平面ABC.
答案解析:延长BH交AC于F,延长CH交AB于E,先通过线面垂直的判定定理证明出CA⊥平面PFB,根据线面垂直的性质证明出PH⊥AC,同理推断出PH⊥AB,最后根据线面垂直的判定定理证明出PH⊥平面ABC.
考试点:直线与平面垂直的判定.
知识点:本题主要考查了线面垂直的判定定理和线面垂直的性质.要求学生对基础定理能熟练记忆并灵活运用.