已知函数f（x）=ln（2ax+1）+x33-x2-2ax（a∈R），（Ⅰ）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=-12时，方程f（1-x）=(1−x)33+bx有实根，求实数b的最大值．
问题描述：
已知函数f（x）=ln（2ax+1）+
-x2-2ax（a∈R），x3 3
（Ⅰ）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=-
时，方程f（1-x）=1 2
+(1−x)3
3
有实根，求实数b的最大值． b x
答
（I）因为函数y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，所以f′（x）=x[2ax2+(1−4a)x−(4a2+2)]2ax+1≥0在[3，+∞）上恒成立当a=0时，f′（x）=x（x-2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0...
答案解析：（Ⅰ）y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，等价于f′（x）=x[2ax2+(1−4a)x−(4a2+2)]2ax+1≥0在[3，+∞）上恒成立，分类讨论，当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，所以2ax2+（1-4a）x-（4a2+2）≥0在[3，+∞）上恒成立，构造函数g（x）=2ax2+（1-4a）x-（4a2+2），要使g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，从而可求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=-12时，方程f（1-x）=(1−x)33+bx有实根，等价于b=xlnx+x2-x3在（0，+∞）上有解，即求g（x）=xlnx+x2-x3的值域．构造h（x）=lnx+x-x2（x＞0），证明h（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，即可得出结论．
考试点：导数在最大值、最小值问题中的应用．
知识点：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，构建函数是关键，也是难点．