已知函数f（x）=lnxx+a（ a为常数）在点（1，f（1））处切线的斜率为12．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[t，+∞）（t∈Z）上存在极值，求t的最大值．
问题描述：
已知函数f（x）=
（ a为常数）在点（1，f（1））处切线的斜率为lnx x+a
．1 2
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[t，+∞）（t∈Z）上存在极值，求t的最大值．
答
知识点：本题为函数与导数的综合应用，涉及切线问题和构造函数法以及函数的零点，属中档题．
（Ⅰ）求导数可得f′(x)＝x+ax−lnx(x+a)2＝1+ax−lnx(x+a)2，∵函数f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为12，∴f′(1)＝a+1(a+1)2＝1a+1＝12，解得a=1---------------------------------（5分）（Ⅱ）由（I）可知...
答案解析：（Ⅰ）求导数，函数f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为
，可得f′(1)＝1 2
，解之即可；（Ⅱ）把问题转化为方程1+1 2
−lnx＝0 在[t，+∞）（t∈Z）上有解，构造函数g(x)＝1+1 x
−lnx(x＞0)，可得函数g（x）有零点x0∈（3，4），进而可得答案．1 x
考试点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取得极值的条件．
知识点：本题为函数与导数的综合应用，涉及切线问题和构造函数法以及函数的零点，属中档题．