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在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且 cos2A+4cos2B+C2=12．（1）求∠A；（2）若a=5，△ABC的面积为23，求b+c的值．

分类: 作业答案 • 2022-01-02 13:24:07
问题描述：

在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且 cos2A+4cos2

B+C
2
=
1
2
．
（1）求∠A；
（2）若a=5，△ABC的面积为2
 3
，求b+c的值．

答

（1）∵cos2A+4cos2

B+C
2
＝
1
2
，
∴cos2A+4sin2
A
2
＝
1
2
，
∴2cos2A−1+2(1−cosA)＝
1
2
，即（2cosA-1）2=0，
∴cosA＝
1
2
，
∴A=
π
3

（ 2 ）∵S△ABC=2
 3
，
∴
1
2
bcsin
π
3
＝2
 3
，即bc=8
又 a2＝b2+c2−2bccos
π
3
，
∴b2+c2=33，
∴（b+c）2=49，
∴b+c=7．
答案解析：（1）利用诱导公式把原式转化成关于cosA的一元二次方程求得cosA的值，进而求得A．
（2）利用三角形的面积求得bc的值，进而运用余弦定理求得b2+c2的值，进而配方法求得b+c的值．
考试点：余弦定理；二倍角的余弦．
知识点：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生分析和推理的能力．

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