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已知圆C1：（x-4）2+y2=1，圆C2：x2+（y-2）2=1，则C1，C2关于直线l对称．（1）求直线l的方程；（2）直线l上是否存在点Q，使Q点到A（-22，0）点的距离减去Q点到B（22，O）点的距离的差为4，如果存在求出Q点坐标，如果不存在说明理由．

分类: 作业答案 • 2022-01-02 13:21:43
问题描述：

已知圆C1：（x-4）2+y2=1，圆C2：x2+（y-2）2=1，则C1，C2关于直线l对称．
（1）求直线l的方程；
（2）直线l上是否存在点Q，使Q点到A（-2

 2
，0）点的距离减去Q点到B（2
 2
，O）点的距离的差为4，如果存在求出Q点坐标，如果不存在说明理由．

答

（1）圆C1：（x-4）2+y2=1的圆心坐标为（4，0），圆C2：x2+（y-2）2=1的圆心坐标为（0，2）
设直线l上的坐标为P（x，y），则
∵C1，C2关于直线l对称，∴|PC1|=|PC2|，
∴

 (x−4)2+y2
＝
 x2+(y−2)2 

化简得：y=2x-3
因此直线l的方程是y=2x-3；       
（2）假设这样的Q点存在，因为点Q到A（-2
 2
，0）点的距离减去Q点到B（2
 2
，O）的距离的差为4，
所以Q点在以A（-2
 2
，0）和（2
 2
，O）为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，
即Q点在曲线
x2
4
−
y2
4
＝1（x≥2）上，
∵Q点在直线l：y=2x-3上
∴代入曲线方程可得3x2-12x+13=0
∴△=122-4×3×13＜0，方程组无解，
∴直线l上不存在满足条件的点Q．
答案解析：（1）利用C1，C2关于直线l对称，可得直线l上点到C1，C2的距离相等，建立方程，化简可得结论；       
（2）根据点Q到点A（-2
 2
，0）点的距离减去Q点到B（2
 2
，O）的距离的差为4，可得Q的方程，与直线l：y=2x-3联立，利用判别式可得结论．
考试点：关于点、直线对称的圆的方程；两点间的距离公式．
知识点：本题考查轨迹方程，考查直线与曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

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