如图1,已知双曲线y1=kx(k>0)与直线y2=k'x交于A,B两点,点A在第一象限.试解答下列问题:(1)若点A的坐标为(4,2),则点B的坐标为______;当x满足:______时,y1>y2;(2)过原点O作另一条直线l,交双曲线y=kx(k>0)于P,Q两点,点P在第一象限,如图2所示.①四边形APBQ一定是______;②若点A的坐标为(3,1),点P的横坐标为1,求四边形APBQ的面积;③设点A、P的横坐标分别为m、n,四边形APBQ可能是矩形吗?若可能,求m,n应满足的条件;若不可能,请说明理由.

问题描述:

如图1,已知双曲线y1

k
x
(k>0)与直线y2=k'x交于A,B两点,点A在第一象限.试解答下列问题:

(1)若点A的坐标为(4,2),则点B的坐标为______;当x满足:______时,y1>y2
(2)过原点O作另一条直线l,交双曲线y=
k
x
(k>0)
于P,Q两点,点P在第一象限,如图2所示.
①四边形APBQ一定是______;
②若点A的坐标为(3,1),点P的横坐标为1,求四边形APBQ的面积;
③设点A、P的横坐标分别为m、n,四边形APBQ可能是矩形吗?若可能,求m,n应满足的条件;若不可能,请说明理由.

(1)因为正比例函数与反比例都关于原点成中心对称,所以B点的坐标为B(-4,-2);
由两个函数都经过点A(4,2),可知双曲线的解析式为y1=

8
x
,直线的解析式为y2=
1
2
x,
双曲线在每一象限y随x的增大而减小,直线y随x的增大而增大,
所以当x<-4或0<x<4时,y1>y2
(2)①∵正比例函数与反比例函数都关于原点成中心对称,
∴OA=OB,OP=OQ,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可知APBQ一定是平行四边形.
②∵A点的坐标是(3,1)
∴双曲线为y=
3
x

所以P点坐标为(1,3),
过A作x轴的垂线CD交x轴于C,可得直角梯形OPDC,过P作PD⊥DC,垂足为D,
用直角梯形的面积减去直角三角形的面积可得三角形POA的面积为4,再用4×4得四边形APBQ为16.

③∵当mn=k时,此时A(m,n),P(n,m),
∴OA=OP,对角线相等且互相平分的四边形是矩形,
∴四边形APBQ是矩形.
答案解析:数与形相结合,理解正比例函数与反比例函数的性质,并对函数的性质灵活运用,同时也训练了平行四边形和矩形的相关性质.点A与点B关于原点对称,所以B点坐标为(-4,-2),在第三象限当x<-4时y1>y2,在第一象限当0<x<4时y1>y2.由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明APBQ是平行四边形.平行四边形的对角线把它分成四个面积相等的三角形,所以只要求出△AOP的面积,再将其乘以4就可以得到APBQ的面积.根据对角线相等的平行四边形是矩形可知,当mn=k时OP=OA,此时APBQ是矩形.
考试点:反比例函数综合题.
知识点:此题考点清晰,难度不大,但数形结合能比较综合的考查学生的分析能力.